Distribucion Exponencial plot

En muchos de esos casos, ayudaría saber que la mejor aproximación estadística para los fallos en maquinaria lo aporta la distribucion exponencial.  

Por tanto, pasemos a conocerla.

Estadística de distribucion

Se trata de una rama de la ingeniería que nos va a aportar un conocimiento base para optimizar nuestra labor en mantenimiento.

No es algo que nos deba sorprender, pues se trata de una disciplina que sirve habitualmente de puente entre los modelos matemáticos y la realidad:

• multitud de noticias y artículos la utilizan para mostrarnos predicciones de pirámides poblacionales
• clasificaciones deportivas
• modelos de comportamiento de usuarios en internet
• incluso el humor hace uso de ella

¿ exponencial ?

Desde siempre, se ha entendido la matemática como una abstracción de la realidad por la que se pueden explicar fenómenos más complejos.

En este sentido, la estadística de distribucion exponencial sirve de apoyo a los modelos matemáticos proporcionando la metodología para evaluar y juzgar las posibles discrepancias entre teoría y realidad.

Ahora bien, de ese uso se pueden sacar otras conclusiones adicionales, como conocer qué experimentos tienen una adecuada base empírica y cuáles no, por ejemplo

¿es suficientemente representativa una muestra de una serie de elementos de una determinada población?

Es decir, que también apoya a «la realidad» y a su manera de establecer y analizar las cosas para un adecuado análisis matemático.

Por tanto, carece de sentido esa visión negativa de la distribucion exponencial para una amplia población, basada en que al observar sus datos percibimos que las diferencias individuales quedan ocultas a través de las medias, algo que se puede apreciar en frases como:

Si tú te comes dos pollos y yo ninguno, nos hemos comido uno cada uno por término medio

o aún más descriptiva la famosa frase de Bernard Shaw:

Si un hombre tiene la cabeza en un horno y los pies en una nevera, su cuerpo está a una temperatura media ideal

También se tiene una opinión generalizada de que es la ciencia que manipula los datos para una visión adulterada de la realidad, al ver continuamente a políticos que habitualmente utilizándola para maquillar aspectos de su gestión.

Pero lo que está claro es que convive diariamente con estadística.

Exponencial en Estadística

La estadística bebe de dos grandes fuentes:

• Datos Experimentales

Serie de datos numéricos definitorios de nuestro segmento en estudio.

• Modelos Matemáticos

Caracterización de diferentes modelos de variables matemáticas.

De tal manera, que el alcance y logro de cualquier estudio estadístico estará limitado o potenciado por la sinergia entre las 2 variables indicadas, debiendo presentar estas un carácter adecuado:

• Los datos han de ser representativos de la muestra en estudio o sí?
• Modelos matemáticos representan suficientemente las peculiaridades de la realidad analizada o no?

Distribucion Exponencial

Se trata de un modelo utilizado para variables aleatorias continuas.

Variables Aleatorias Continuas

Es aquella que puede tomar cualquier valor en un determinado intervalo

Por ejemplo, el peso de una persona, el tiempo de duración de un suceso, el tiempo que transcurre entre dos eventos, …..

Remarco esta última pues es una variable de indudable interés para mantener equipos.

problemas de exponencial continua

No es posible conocer el valor exacto de una variable continua, puesto que cada uno de ellos se debe incluir en un determinado intervalo:

• Simplificación para que el modelo matemático pueda representar realidades complejas.

Así, cuando hablamos de tasa instantánea de fallo nos referimos en realidad a la probabilidad de aparición de cualquier valor inferior al deseado (como si nos interesase un rango).

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Matemáticas que caracterizan el comportamiento de una variable continua son:

Función de Densidad

Funcion resultante de la representación en continuo del histógrama de frecuencias, y que conceptuamente representa

• la distribución de frecuencias de aparición de la variable x

Función de Distribución

Escalar que representa el área contenida en la gráfica hasta un determinado valor de X (Xo):

• Probabilidad de que aparezca un conjunto de valores inferiores al Xo.

Matematicas en Distribucion Exponencial

Variable «t»definida como el tiempo de ocurrencia entre dos procesos consecutivos

Tomando cualquier valor en el intervalo (0,∝).

(es el símbolo de infinito el de la derecha en el editor de wordpress)

¿ Origen Distribucion Exponencial?

Esta variable muestra experimentos del tipo Poisson, consistentes en modelizar la aparición de sucesos puntuales en un soporte continuo:

• Llegadas de aviones a un aeropuerto. (el soporte es el espacio).

Poisson: número en un Soporte Continuo

La principal característica de este modelo es que no tiene memoria, es decir, la posibilidad de aparición de sucesos en un periodo no ayuda a predecir el número de eventos en el siguiente.

Con esta caracterización, se puede comprobar que la fórmula de cálculo de la probabilidad de encontrar x sucesos:

donde λ es el número de eventos unitario en un soporte continuo (es una constante de este modelo univariante de distribucion) para un segundo puesto que el tiempo no es divisible como sí el espacio.

La prueba es que yo lo estoy midiendo para tiempos de carga (final de la entrada) en decimales pero todo el mundo lo usa en sexagesimal.

Troceamos el tiempo = distribucion exponencial

Se trata de una Poisson sobre un soporte de tiempos definida como

número de averías (x) en el tiempo.

La exponencial es un truco matemático (autor del blog rubén lorenzo)

Para mantenimiento, lo que se quiere conocer es la tasa de equipos que van a superar una determinada vida útil:

Distribucion exponencial F1 (mayúscula)

Bastará con calcular la probabilidad complementaria de la anterior, es decir:

Distribucion exponencial FII (minúscula)

Se obtiene derivando la anterior:

Esperanza o Media

En Poisson este valor sería λ, para la distribucion exponencial definida no como eventos / tiempo sino como tiempos / evento su valor sería:

Varianza

Se puede comprobar que la varianza en distribucion exponencial es:

Como puede verse, la desviación típica coincide con la media.

Representación Gráfica

Representación función de densidad frente al tiempo presentaría la siguiente forma:

Una de las razones para «inventarnos» la exponencial es que precisamente la poisson no tiene tal representación gráfica.

Distribucion Exponencial bivariante

De los apuntes de la carrera os transcribo esto para que entendáis que es bivariante, como la binomial (pero esta es discreta) y como la normal (esta también es continua).

La distribución normal usa un único paquete de datos, mientras que la exponencial dos paquetes de datos. Pero al final el calificativo es común.

Bivariante con 2 paquetes de datos

Se trata de una planta industrial con una nueva instalación consistente en 2 bombas B1,B2 en paralelo que conducen agua desde un pozo a una depuradora, y posteriormente otras 2 bombas B3 y B4 también en paralelo la trasladan a un depósito; y se quiere aplicar la distribucion exponencial.

Se conocen los tiempos de vida de la depuradora y las bombas:

20.000 horas de vida medida de la depuradora

30.000 horas de vida media de las bombas

Es conveniente realizar representar el circuito gráficamente en forma de diagrama de bloques:

También de los datos del enunciado puede concluirse que:

Esperanzadevida de las Bombas es 30.000 horas

Esperanza devida del Depósito es 20.000 horas

Planteamiento

La distibucion exponencial estudia probabilidades:

¿Qué probabilidad hay que llegue agua al depósito tras 20.000 horas de funcionamiento?

Tras ese tiempo de 20.000 horas, se pueden plantear los siguientes sucesos para que

llegue agua al depósito:

SucesoB – funciona, al menos, una de las bombas B1 o B2

SucesoD – funciona la depuradora

SucesoB´ – funciona, al menos, una de las bombas B3 o B4

siendo la secuencia lógica deseada (aplicando el AND lógico):

B ∧ D∧ B´

Por tanto, la probabilidad de que el sistema funcione tras las 20.000 horas de funcionamiento será (teniendo en cuenta que son sucesos independientes):

p = P(B ∧ D∧ B´) = P(B) * P(D) * P(B´)

mientras que la probabilidad de fallo será la complementaria:

p´= 1 – p

Para el cálculo de las probabilidades se ha de tener en cuenta que se analiza una variable exponencial:

Tiempo entre 2 fallos consecutivos en equipos

Cálculo de Probabilidades

Se trata una variable aleatoria continua tipo exponencial de la que conocemos su esperanza, y su tasa media de fallos λ.

Cálculo de P(B) y P(B´)

La λ de las bombas tiene un valor de 1/30.0000 fallos/hora, por lo que la probabilidad de una bomba falle antes de las 20.000 horas será:

mientras que la probabilidad de que fallen las 2 bombas será (0,49 x 0,49), pues son sucesos independientes al ir en paralelo. Y en consecuencia, P(B) o P(B´), probabilidades de que no fallen las 2 bombas, será la complementaria:

P(B) = P(B´) = 1- (0,49 x 0,49) = 0,7599

Cálculo de P(D)

Para el depósito el razonamiento sería el mismo, si bien ahora sólo se tiene un equipo, por lo que:

con lo que:

P(D) = 1-0,6322 = 0,3678

(Seguimos con el problema)

Probabilidad de Fallo

Como ya se dijo la probabilidad de que el sistema funcione pasadas esas 20.000 horas será el producto de las 3:

p = 0,7599 x 0,3678 x 0,7599 = 0,21 (redondeando)

y la probabilidad de fallo sería de:

p´= 1-p = 0,79

(ya llegando al final)

Exponencial no es aproximable a Normal

Aunque parezca obvio, hay que indicarlo tras esta entrada y porque hay dos paquetes de datos.

De ahí que se pueda hablar de que en mantenimiento no se usa demasiado esta distribucion exponencial estadística.

Distribucion exponencial es univariante ?

Para una instalación nueva, como es el caso, el fabricante de la bomba aporta un tiempo esperado de duración en la unidad, de la misma manera que el suministrador del depósito, por tanto:

Al tratarse de una instalación nueva, los datos se obtienen de la información suministrada por el fabricante

Por tanto, no se puede hablar de que sea univariante. Se tiene el depósito y la bomba.

 

Tiempos de carga de esta entrada:

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