La Distribucion Exponencial, o ¿Cómo caracterizar la Duración de Activos?

A la hora de abordar cualquier planteamiento de analisis de fallos se ha de disponer de una base conceptual que permita establecer el comportamiento de cada una de las variables relevantes. Esto es un valor que tenemos como analistas e ingenieros de mantenimiento, pero se puede quedar corto ante la realidad de los problemas, por ejemplo al buscar respuestas a: ¿cómo establecer unas gamas basadas en calendario? o ¿cómo determinar la fiabilidad de una instalación en la entrega de una ingeniería?….  En muchos de esos casos, ayudaría saber que la mejor aproximación estadística para los fallos en maquinaria lo aporta la distribucion exponencial.  Por tanto, pasemos a conocerla.

Estadística

Se trata de una rama de la ingeniería que nos va a aportar un conocimiento base para optimizar nuestra labor en mantenimiento. No es algo que nos deba sorprender, pues se trata de una disciplina que sirve habitualmente de puente entre los modelos matemáticos y la realidad, por ejemplo multitud de noticias y artículos la utilizan para mostrarnos predicciones de pirámides poblacionales, clasificaciones deportivas, o modelos de comportamiento de usuarios en internet.

¿Porqué su uso?

Desde siempre, se ha entendido la matemática como una abstracción de la realidad por la que se pueden explicar fenómenos más complejos; en este sentido, la estadística sirve de apoyo a los modelos matemáticos proporcionando la metodología para evaluar y juzgar las posibles discrepancias entre teoría y realidad. Ahora bien, de ese uso se pueden sacar otras conclusiones adicionales, como conocer qué experimentos tienen una adecuada base empírica y cuáles no, por ejemplo ¿es suficientemente representativa una muestra de una serie de elementos de una determinada población? Es decir, que también apoya a «la realidad» y a su manera de establecer y analizar las cosas para un adecuado análisis matemático.

Por tanto, carece de sentido esa visión negativa de la estadística para una amplia población, basada en que al observar sus datos percibimos que las diferencias individuales quedan ocultas a través de las medias, algo que se puede apreciar en frases como:

Si tú te comes dos pollos y yo ninguno, nos hemos comido uno cada uno por término medio

o aún más descriptiva la famosa frase de Bernard Shaw:

Si un hombre tiene la cabeza en un horno y los pies en una nevera, su cuerpo está a una temperatura media ideal

También se tiene una opinión generalizada de que es la ciencia que manipula los datos para una visión adulterada de la realidad, al ver continuamente a políticos que habitualmente utilizándola para maquillar aspectos de su gestión. Pero lo que está claro es que se trata de una ciencia con la que tenemos que convivir diariamente, puesto que multitud de situaciones de ese día a día se han de pasar por filtros estadísticos, por lo que mejor conocerla y más si nos sirve para ampliar nuestra base científica ante diferentes coyunturas en mantenimiento.

Bases de la Estadística

La estadística bebe de dos grandes fuentes:

  • Datos Experimentales

     

Serie de datos numéricos definitorios de nuestro segmento en estudio.

  • Modelos Matemáticos

Caracterización de diferentes modelos de variables matemáticas.

estadistica y ejemplo de distribucion exponencial

De tal manera, que el alcance y logro de cualquier estudio estadístico estará limitado o potenciado por la sinergia entre las 2 variables indicadas, debiendo presentar estas un carácter adecuado, puesto que los datos han de ser representativos de la muestra en estudio, y los modelos matemáticos representar suficientemente las peculiaridades de la realidad analizada.

Distribucion Exponencial

Se trata de un modelo de distribución estadística, utilizado para variables aleatorias continuas.

Variables Aleatorias Continuas

Es aquella que puede tomar cualquier valor en un determinado intervalo

Por ejemplo, el peso de una persona, el tiempo de duración de un suceso, el tiempo que transcurre entre dos eventos, ….. Remarco esta última pues es una variable de indudable interés para mantenimiento,¿no?.

Estadísticamente, no es posible conocer el valor exacto de una variable continua, puesto que cada uno de ellos se debe incluir en un determinado intervalo, existiendo «esta limitación» por lo anteriormente indicado, es decir, se trata de una simplificación para que el modelo matemático pueda representar realidades complejas. Así, cuando hablamos de tasa instantánea de fallo nos referimos en realidad a la probabilidad de aparición de cualquier valor inferior al deseado (intervalo de -∝ al valor analizado).

Las funciones que caracterizan el comportamiento de una variable continua son:

Función de Densidad

Función resultante de la representación en continuo del histógrama de frecuencias, y que conceptuamente representa la distribución de frecuencias de aparición de la variable x.

ejemplo de distribucion exponencial

Función de Distribución

Escalar que representa el área contenida en la gráfica hasta un determinado valor de X (Xo), y que conceptualmente representa la probabilidad de que aparezca un conjunto de valores inferiores al Xo.

ejemplo de distribucion exponencial

Variables y Características de la Distribucion Exponencial

Variable «t»definida como el tiempo de ocurrencia entre dos procesos consecutivos

Tomando cualquier valor en el intervalo (0,∝).

¿Modelo Matemático de la Distribucion Exponencial?

Esta variable muestra experimentos del tipo Poisson, consistentes en modelizar la aparición de sucesos puntuales en un soporte continuo; ejemplos, el que nos interesa número de averías en un período de tiempo (soporte tiempo), número de llegadas de aviones a un aeropuerto (soporte espacio del aeropuerto), etc …

Poisson: número de sucesos puntuales en un Soporte Continuo

La principal característica de este modelo es que no tiene memoria, es decir, la posibilidad de aparición de sucesos en un periodo no ayuda a predecir el número de eventos en el siguiente.

Con esta caracterización, se puede comprobar que la fórmula de cálculo de la probabilidad de encontrar x sucesos:

poisson y ejemplo de distribucion exponencial

donde λ es el número de eventos unitario en un soporte continuo.

Probabilidad

Para el caso de la exponencial, y particularmente para mantenimiento, lo que se quiere conocer es la tasa de equipos que van a superar una determinada vida útil, lo que probabilísticamente es equivalente a que haya fallado algún equipo con anterioridad, es decir:

ejemplo de distribucion exponencial

puesto que se trata de una Poisson sobre un soporte de tiempos definida como número de averías (x) en el tiempo. Basta con sustituir en la fórmula anterior x igual a 0, y tener en cuenta que la tasa de fallos λ es la tasa unitaria de fallo unitaria en el tiempo (se multiplica por To para tener la tasa en ese período). A partir de ella podemos calcular las funciones y valores características de la distribución:

Función de Distribucion

Bastará con calcular la probabilidad complementaria de la anterior, es decir:

ejemplo de distribucion exponencial

Función de Densidad

Se obtiene derivando la anterior:

ejemplo distribucion exponencial

Esperanza o Media

En Poisson este valor sería λ, para la distribucion exponencial definida no como eventos / tiempo sino como tiempos / evento su valor sería:

ejemplo de distribucion exponencial

Varianza

ejemplo de distribucion exponencial

Como puede verse, la desviación típica coincide con la media.

Representación Gráfica

Representación función de densidad frente al tiempo presentaría la siguiente forma:

ejemplo de distribucion exponencial

Ejemplo de Distribucion Exponencial

Descripción del Sistema

Se trata de una planta industrial con una nueva instalación consistente en 2 bombas B1,B2 en paralelo que conducen agua desde un pozo a una depuradora, y posteriormente otras 2 bombas B3 y B4 también en paralelo la trasladan a un depósito. Se conocen los tiempos de vida de la depuradora y las bombas:

20.000 horas de vida medida de la depuradora

30.000 horas de vida media de las bombas

Es conveniente realizar representar el circuito gráficamente en forma de diagrama de bloques:

ejemplo de distribucion exponencial

También de los datos del enunciado puede concluirse que:

Esperanza de vida de las Bombas es 30.000 horas

Esperanza de vida del Depósito es 20.000 horas

Planteamiento de Mantenimiento

¿Qué probabilidad hay que llegue agua al depósito tras 20.000 horas de funcionamiento?

Tras ese tiempo de 20.000 horas, se pueden plantear los siguientes sucesos para que llegue agua al depósito:

Suceso B – funciona, al menos, una de las bombas B1 o B2

Suceso D – funciona la depuradora

Suceso B´ – funciona, al menos, una de las bombas B3 o B4

siendo la secuencia lógica deseada (aplicando el AND lógico):

B ∧ D∧ B´

Por tanto, la probabilidad de que el sistema funcione tras las 20.000 horas de funcionamiento será (teniendo en cuenta que son sucesos independientes):

p = P(B ∧ D∧ B´) = P(B) * P(D) * P(B´)

mientras que la probabilidad de fallo será la complementaria:

p´= 1 – p

Para el cálculo de las probabilidades se ha de tener en cuenta que se analiza una variable exponencial:

Tiempo entre 2 fallos consecutivos en equipos

Cálculo de Probabilidades

Se trata una variable aleatoria continua tipo exponencial de la que conocemos su esperanza, y su tasa media de fallos λ.

Cálculo de P(B) y P(B´)

La λ de las bombas tiene un valor de 1/30.0000 fallos/hora, por lo que la probabilidad de una bomba falle antes de las 20.000 horas será:

ejemplo distribucion exponencial

mientras que la probabilidad de que fallen las 2 bombas será (0,49 x 0,49), pues son sucesos independientes al ir en paralelo. Y en consecuencia, P(B) o P(B´), probabilidades de que no fallen las 2 bombas, será la complementaria:

P(B) = P(B´) = 1- (0,49 x 0,49) = 0,7599

Cálculo de P(D)

Para el depósito el razonamiento sería el mismo, si bien ahora sólo se tiene un equipo, por lo que:

ejemplo distribucion exponencial

con lo que:

P(D) = 1-0,6322 = 0,3678

Probabilidad de Fallo

Como ya se dijo la probabilidad de que el sistema funcione pasadas esas 20.000 horas será el producto de las 3:

p = 0,7599 x 0,3678 x 0,7599 = 0,21 (redondeando)

y la probabilidad de fallo sería de:

p´= 1-p = 0,79

Corolario

Bueno, pues aquí tenéis un caso en el que la estadística aporta esa trazabilidad que busca obtener cualquier responsable de mantenimiento de sus datos históricos (realidad) usando ingeniería (modelos matemáticos). Se trata de un caso real, pero simplificado pues si trabajáis en mantenimiento os deberían surgir las siguientes interrogantes:

  1. ¿Cómo se han obtenido los datos de esperanza media de fallos?

  2. ¿Cómo falla la bomba y el depósito?

  3. ¿Qué uso se puede hacer del valor calculado?

¿Cómo se han obtenido los datos de esperanza media de fallos?

Para una instalación nueva, como es el caso, el fabricante de la bomba aporta un tiempo esperado de duración en la unidad, de la misma manera que el suministrador del depósito, por tanto:

Al tratarse de una instalación nueva, los datos se obtienen de la información suministrada por el fabricante

Si este tipo de análisis se quisieran realizar en una instalación con una vida histórica, los tiempos al fallo se podrían promediar siempre que se pudiera garantizar que los equipos se encuentran en una buena condición en el momento de realizar el estudio (usando herramientas de mantenimiento predictivo). Si bien estas situaciones pueden requerir un análisis estadístico más avanzado. Tranquilos, lo veremos en entradas posteriores.

Si se quisiera hacer para instalaciones con horas de funcionamiento, habría que estudiar las condición de los activos por mantenimiento predictivo y comprobar que se está en un estado 0 para el contador de tiempos

¿Cómo fallan la bomba y el depósito?

Esto se relaciona íntimamente con la pregunta siguiente, pero decir que este estudio permitirá conocer con qué frecuencia los fallos se presentarán pasado un determinado tiempo. Si veis en el enlace de analisis de fallos, no todos las probabilidades de fallo presentan una dependencia temporal, por tanto si hay que responder a la pregunta, se diría que falla la bomba o depósito por causas que presenten dependencia temporal en su probabilidad de fallo.

Para los datos y análisis del ejemplo, la bomba y depósito fallan por causas que presenten dependencia temporal en su Probabilidad de Fallo

¿Qué uso se puede hacer de la Probabilidad Calculada?

Hay que ser francos, ese valor no os va a permitir enriqueceros desde luego. Para eso, juega a la lotería o dedícate a actividades ilícitas. Pero el valor calculado permite cuantificar con qué riesgo habríamos de afrontar cualquier decisión de mantenimiento pasadas esas 20.000 horas de funcionamiento. Ejemplo, se han establecido gamas para reparación de componentes de desgaste en bomba con ese período; llegan las 15.000 horas de vida de la instalación, y nuestro jefe (generalmente, el de producción) nos pregunta si esa gama programada se podría pasar a las 30.000 horas. Con el dato calculado se puede decir que:

Con un 80% de probabilidad la instalación fallará pasadas 20.000 horas

por lo que parece bastante lógico que mantenimiento desestimara la posibilidad de alargar los tiempos para la parada.

ejemplo de distribucion exponencial

 

Bueno, pues aquí acaba esta entrada que por supuesto da mucho que analizar, al menos así pienso yo pero que tendrá continuidad en posteriores, pues desgraciada o afortunadamente la estadística y sus aplicaciones invade nuestras vidas y, particularmente, las del personal y directivos de mantenimiento. Cualquier experiencia que quieras compartir ya sabes ahí tienes la sección de comentarios.

Si te ha interesado esta entrada, su contenido resulta de apoyo para entender otras entradas como plan de mantenimiento preventivo, aunque se trata de unos conceptos clave como ingeniería de base para todos los contenidos del portal.

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