Analisis de Fiabilidad a través de la Distribución Weibull

Se lleva tiempo sin hablar directamente en el blog sobre el analisis de fiabilidad, no porque sea un tema ajeno a la ingeniería de mantenimiento, más bien al contrario resulta clave para poder alargar los tiempos para las intervenciones en las máquinas aplicando los algoritmos de markov.

Con esta entrada entenderéis la amplitud de concepto y formación que se requiere para el trabajo en ingeniería de mantenimiento y analisis de fiabilidad, puesto que buena parte del bagaje requerido para completar estos estudios en su totalidad requiere de una completa Formación en Mecánica, Estadística además de la ya comentada en ingeniería de Producción y Procesos.

Formación Mecánica

La base en ingeniería es común, como seguro sabéis los que hayáis estudiado carreras técnicas para cualquier especialidad:

• • Organización

• • Electrotecnia

• • Química
  • Mecánica, …

por lo que la aplicación de las metodologías para el estudio son realizables con absoluta certeza por cualquier Ingeniero Industrial. El problema viene en el alcance de dichos estudios cara a la obtención de resultados y mejoras de rendimiento.

En el devenir de este blog por diferentes redes sociales han sido varios los comentarios relacionados con el analisis de fiabilidad, que usa como herramienta básica la

Distribución Weibull

para caracterizar el histórico de averías en componentes permitiendo al ingeniero de mantenimiento la determinación de:

• • Probabilidades de Fallo, que se utilizan en los algoritmos de Markov por ejemplo para establecer la frecuencia de las intervenciones por preventivo, predictivo, …..

• • • MTBF, indicador clave en fiabilidad pues nos indica en definitiva cuál es la duración media de cada componente …. siendo labor de cualquier área de mantenimiento su optimización y mejora.
  • Tipo de Evolución en cada componente, pudiéndonos encontrarnos casos en los que un mismo componente (similar funcionalidad) montado en máquinas similares presente en base a su histórico de fallos distintos tipos de evolución.

Analisis de Fallos

Este último epígrafe es el que más jugo ofrece sin lugar a dudas para cualquier responsable de mantenimiento, puesto que permite obtener conclusiones reales y en muchos casos traducibles en beneficios contables al aumentar períodos entre fallos y reducir gastos en amortización de activos, como ya se os indicó en la entrada optimizacion de procesos productivos.

Pensad por ejemplo en situaciones en las que una misma camisa (componente de desgaste por antonomasia) pueda presentar diferentes períodos de evolución al fallo, en unos casos con componentes fundamentalmente aleatorias, en otros tipo curva de bañera como cabría esperar. (estos modelos los podéis ver en la página analisis de fallos).

Ante esa situación se debe realizar un analisis de causa raiz que permita determinar las causas de tal anormalidad, debiendo enfatizar nuestra actividad y desempeño hacia la corrección de esa anomalía o defecto. Quizás simplemente ese comportamiento se deba a un:

• • Modo de operación desigual entre máquinas.
  • Modos de mantenimiento y montaje no adecuados en alguna de las camisas ……

Obviamente la corrección de ese problema evitará que esa camisa falle antes de lo previsto, y habremos incrementado el MTBF (indicador clave en fiabilidad).

En base a esa importancia y por su evidente relación con la ingeniería de mantenimiento vamos a hablar sobre el

Analisis de Fiabilidad por Weibull.

Esta función representa una generalización de la distribucion exponencial, o aquella una particularización de esta. Esta resulta más genérica pues modeliza cualquier tipo de fallo en industria, ya sea de naturaleza aleatoria (tratado por la exponencial donde se ha de potenciar el uso del predictivo) o temporal (caracterizado por weibull donde se ha de potenciar el uso del preventivo).

Su origen viene de analizar la probabilidad de muerte y supervivencia de una determinada población de componentes, variable de naturaleza aleatoria que tiene su función de densidad característica, dependiente del tiempo f(t) y distribución F(t). Por su continuidad resulta imposible hablar de probabilidades o tasas puntuales de fallo, definiéndose la tasa instantánea como un límite de la siguiente manera:

(obtenida como límite cuando t tiende a 0 del siguiente cociente, donde S(t) representa los supervivientes a la edad t, S(t+n)los supervivientes a la edad t+n)

Esa función de tasa instantánea tiene su función de densidad asociada, definida como:

que operando se mostraría como:

derivándola nos daría la probabilidad de fallo o muerte de un elemento de una población entre los instantes 0 y t:

Función de Densidad

Pese a todas las operaciones anteriores todavía no hemos llegado al resultado deseado que se simplifica suponiendo que:

algo que se puede realizar pues se basa en muchos modelos de predicción de poblaciones como los de Makeham y Gompertz (puedo avalarlo en la actualidad como opositor al cuerpo de diplomados estadísticos del estado), amplíamente aceptados en demografía.

En este caso se tendría que:

que es la función de densidad de Weibull para el analisis de fiabilidad; en esta fórmula h es una constante, x es la variable muerte aleatoria de un activo y t es el tiempo variable dependiente estadísticamente de la x anteriormente mentada. En definitiva una

función algebraica que muestre la dependencia entre x (muerte de activos) y t (tiempo entre fallos)

Analisis de Poblaciones

Una utilidad de la distribución anterior es el estudio poblacional, por ejemplo probabilidades de muerte y tasas de fallo para la población española en 1986. En esos casos se usan las tasas de muerte por grupos de edad obteniéndose la siguiente gráfica:

que es la conocida como Curva de la Bañera, en la que se pueden distinguir 3 claros tramos.

• Uno primero con mortalidad más elevada asociada a la

Alta Mortalidad Asociada al Parto.

Este primer grupo es interpretable como una Weibull donde el parámetro c es menor que 1.

• Uno segundo de

Mortalidad Constante,

hasta la adolescencia. Este segundo grupo es representable por una exponencial (c=1).

• Un tercero con

Crecimiento Exponencial

a partir de entonces, siendo la tasa de fallo en ese caso una función exponencial positiva con los siguientes valores:

Este último modelo se utiliza para la estimación o previsión del crecimiento poblacional, conocido como Modelo Logístico de Gompertz.

Ejemplos

La función anterior es la creada por Weibull, si bien se ha generalizado su uso para el analisis de fiabilidad en variables aleatorias relacionadas con mortalidad o fallo en poblaciones, como podéis ver en los siguientes ejemplos:

Variable Vida de un Mecanismo

La siguiente función de densidad es Weibull:

Distribución Exponencial

Esta curiosidad seguro que no la conocéis, por eso os la enseño en esta entrada, pues muestra qué transformación habría que realizar para partiendo de la exponencial llegar a weibull. Así, partiendo de la función de densidad de la exponencial:

y realizando la transformación que se indica de y a x se obtiene la función de densidad de una variable weibull:

Analisis de Fiabilidad en Mantenimiento

Evidentemente todo lo anterior no es más que teoría, pues en la práctica cualquier ingeniero se encuentra con el problema de tener que realizar analisis de fiabilidad, para saber si es posible plantear posibles mejoras en el diseño o métodos de mantenimiento en sus instalaciones.

En esa situación el responsable de ese área se encuentra con un histórico de fallos por componente y debe poder realizar un análisis weibull para poder identificar si su componente sigue un:

• • Modelo con Mortandad Infantil

• • Modelo Fallo aleatorio 
  • Modelos de desgaste

recordando los 3 tramos de la gráfica anterior.

El desarrollo de esos modelos poblacionales para la industria ha convertido la fórmula inicial dada en esta otra debiéndose obtener los

Valores de 3 Parámetros:

fórmula que se obtiene realizando un cambio de escala (restando a t el parámetro γ) y ajustando la variabilidad (dividiendo por η):

• • El primero de esos parámetros representa el tiempo que ha de transcurrir para la ocurrencia de un fallo

• El segundo representa el tiempo remanente de vida en el equipo.

De hecho los nombres recibidos por cada uno de ellos serían:

β factor de forma.

Es el más crítico pues delimita la forma de las curvas. De hecho la tasa de fallos es

• • Decreciente si Beta es menor que 1 .
• • Constante si Beta es igual a 1.
  • Creciente si Beta es mayor que 1.

γ mínimo de vida.

Se puede configurar para fijar el instante en el que empiecen a presentarse los fallos.

η escala de tiempos.

Permite variar la tasa de fallo.

El método consiste en realizar un ajuste de la nube de puntos obtenidos en base al histórico de fallos en cada equipo y delimitar esos valores de manera aproximada, interpretando así el tipo de evolución que sigue cada activo.

AND THIS IS THE END

¿Y después?

Ya se explicó al inicio de la entrada que a partir del conocimiento de esos parámetros se pueden calcular tiempos medios al fallo (ya se habló algo de ello en el post sobre distribución exponencial) usando la función estadística de la esperanza, teniendo en cuenta la disposición de equipos (en serie o paralelo, con-sin redundancia, …) ….

La novedad más importante en relación con el artículo es la posibilidad de usar el analisis de fiabilidad para determinar la necesidad de realizar diagnóstico de causa raíz, y a partir de ahí

Rediseño de Componentes

pensando fundamentalmente en equipos cuyos

Fallos tengan la Componente Edad

como factor más significativo.

Otros

Cuando predomina la componente aleatoria (rodamientos) tenéis la entrada analisis de causa raiz u otras donde a partir del

Análisis de Materiales y sus Daños

se pueden delimitar el origen de fallos y actuar en consecuencia.

GOOD BYE

Espero que la entrada haya resultado de interés, y ya sabes que la ingeniería pese a su complejidad tiene sus parcelas y especialidades, razón por la que en muchos casos se habla del mantenimiento como una actividad eminentemente multidisciplinar.